II Частные производные функции нескольких переменных

Перенесем на функции нескольких переменных главные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной, а, конкретно, понятия производной и дифференциала. Для функций нескольких переменных придется определять несколько производных, поточнее, столько производных, сколько независящих переменных у данной функции.

Пусть функция определена в некой округи точки . Придадим переменной приращение , а значение переменной поменять II Частные производные функции нескольких переменных не будем, другими словами перейдем на плоскости от точки к точке ( таково, что точка принадлежит округи точки М). При всем этом значение функции также поменяется. Назовем это изменение личным приращением функции по переменной : .

Аналогично можно составить личное приращение по переменной :

.

Определение.Если существует конечный предел

,

то он именуется личной производной по переменной (по II Частные производные функции нескольких переменных переменной ) от функции в точке .

Личные производные обозначаются одним из последующих знаков: , либо , либо , либо . Если необходимо очевидно указать, в какой точке вычислена личная производная, то пишут, к примеру, так: , либо .

Из определения следует, что личная производная функции 2-ух переменных равна обыкновенной производной функции одной переменной II Частные производные функции нескольких переменных, приобретенной при условии, что 2-ая независящая переменная сохраняет неизменное значение. Как следует, правила и формулы отыскания личных производных те же, что и правила и формулы обыденных производных функций одной переменной.

Отыскать личные производные последующих функций:

Пример 1. .

Функция определена в области . Фиксируя переменную , находим личную производную по переменной : .

Фиксируя переменную , получаем личную II Частные производные функции нескольких переменных производную по переменной :

.

Пример 2. .

Функция определена при условии . Фиксируя переменную , находим личную производную по переменной : .

Фиксируя переменную , получаем личную производную по переменной :

.

Пример 3. . Обосновать, что .

Функция определена при . Найдем личные производные:

.

.

Проверим, справедливо ли равенство, для этого вычислим величину выражения , подставив туда отысканные личные производные:

,

другими словами вправду равенство II Частные производные функции нескольких переменных правильно.

Пример 4. .Обосновать, что .

Функция определена при .

. Вычислим:

.

Как следует, равенство правильно.

Можно ввести понятие личной производной порядка выше первого. Потому что личные производные и какой-нибудь функции 2-ух переменных сами являются, вообщем говоря, функциями 2-ух переменных, то от их снова можно брать личные производные по и . Итог II Частные производные функции нескольких переменных дифференцирования именуется личной производной второго порядка (либо просто 2-ой личной производной). Если от взять личную производную по , другими словами вычислить , то итог обозначается либо . От личной производной можно взять личную производную по : . Итог дифференцирования именуется смешанной личной производной второго порядка и обозначается: либо .

Таким же образом можно вычислить личные производные II Частные производные функции нескольких переменных второго порядка и , приобретенные от дифференцирования личной производной по и по соответственно.

Справедливо утверждение: если смешанные личные производные, отличающиеся порядком дифференцирования, непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, другими словами .

Пример 5.Отыскать личные производные второго порядка функции .

Найдем личные производные первого порядка:

;

.

Находим личные производные от II Частные производные функции нескольких переменных этих:

;

;

.

Потому что смешанная производная второго порядка непрерывна на , то она не находится в зависимости от порядка дифференцирования, другими словами .

Можно найти и производные более больших порядков. Так для функции можно написать восемь личных производных третьего порядка:

(либо ), , шестнадцать личных производных 4-ого порядка и т.д..

Если рассматривать функцию 3-х переменных , то II Частные производные функции нескольких переменных для нее имеем три личные производные первого порядка , девять личных производных второго порядка и т.д..

Заметим, что смешанные производные хоть какого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, к примеру .


ih-dolzhno-rezat-ili-strich.html
ih-k-rashodam-tekushego-perioda.html
ih-luchi-i-stadii-evolyucii.html